粒子運動方程式
equation of particle motion
19 世紀末にバセットは静止流体中を非定常に運動する球形粒子の運動方程式を導出し，ブースネスクとオセーンがそれに改良を加えた。また 20 世紀の中頃にチェンによって流体が運動している乱流場などに拡張された。ストークスの抗力を受ける球形粒子の場合，次式となる。
\begin{multline}
\frac{\pi}{6}\rho_{\mathrm{p}}{D_{\mathrm{p}}}^{3}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t} =
3\pi \mu D_{\mathrm{p}} (\boldsymbol{u}_{\mathrm{f}}-\boldsymbol{u}) \\[3pt]
+ \frac{\pi}{6}\rho_{\mathrm{f}}{D_{\mathrm{p}}}^{3}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}t}
+ \frac{\pi}{12}\rho_{\mathrm{f}}{D_{\mathrm{p}}}^{3} \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t} \right) \\[3pt]
+ \frac{3}{2}{D_{\mathrm{p}}}^{3} \sqrt{\pi \rho_{\mathrm{f}} \mu} \int_{0}^{t} \frac{\left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}t'}-\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t'} \right)}{\sqrt{t-t'}}\mathrm{d}t'
+ F_{\mathrm{e}} \tag{1}
\end{multline}
ここで，$D_{\mathrm{p}}$，$F_{\mathrm{e}}$，$\boldsymbol{u}_{\mathrm{f}}$，$\boldsymbol{u}$，$\rho_{\mathrm{f}}$，$\rho_{\mathrm{p}}$，$\mu$ はそれぞれ粒子径，外力，流体の速度ベクトル，粒子の速度ベクトル，流体密度，粒子真密度，流体粘度である。また $t$，$t'$ は時間である。右辺第１項はストークスの抗力，第２項は流体の圧力項，第３項は付加質量項，第４項はバセット項，第５項は外力項である。$\rho_{\mathrm{f}}/\rho_{\mathrm{p}}\ll 1$ の場合，すなわち気流中の固体粒子のような場合，右辺第２，３，４項は無視できる。流体抗力と外力のみが働く場合，一般に次式となる。ただし球形粒子である。
\begin{multline}
\frac{\pi}{6}\rho_{\mathrm{p}}{D_{\mathrm{p}}}^{3}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t} =
\frac{\pi}{8}{D_{\mathrm{p}}}^{2}\rho_{\mathrm{f}}C_{\mathrm{D}} \left| \boldsymbol{u}_{\mathrm{f}}-\boldsymbol{u} \right| (\boldsymbol{u} _{\mathrm{f}}-\boldsymbol{u}) + F_{\mathrm{e}} \tag{2}
\end{multline}
上式中の $C_{\mathrm{D}}$ は抗力係数で，高粒子レイノルズ数の $C_{\mathrm{D}}$ を用いれば高粒子レイノルズ数の粒子の運動も記述する。
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