対数正規分布
log-normal distribution
粒子径 $x$ の対数 $\ln x$ が正規分布に従うならば，粒子径分布（ふるい下積算分布） $Q(x)$ は次式で表わされる。これを対数正規分布という。
\begin{align}
Q(x) &= \frac{1}{\sigma_{x} \sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}\exp \left\{ -\frac{(\ln x - \mu_{x})^{2}}{2{\sigma_{x}}^{2}} \right\}\mathrm{d}(\ln x) \\[7px]
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x} x}\int_{0}^{x}\exp \left\{ -\frac{(\ln x - \mu_{x})^{2}}{2{\sigma_{x}}^{2}} \right\}\mathrm{d}x
\end{align}
ここで，$\sigma_{x}$ は $\ln x$ の標準偏差で，$\mu_{x}$ は $\ln x$ の算術平均値である（それぞれに特定の名称がなく不便である）。したがって，$\sigma_{\mathrm{g}}=\exp \sigma_{x}$ は粒子径 $x$ の幾何標準偏差，$x_{\mathrm{g}}=\exp \mu_{x}$ は粒子径 $x$ の幾何平均径となる。また，$\mu_{x}$ は $Q(x)=0.5$ となる値であるので，$x_{\mathrm{g}}$ は積算分布の 50 % をに対応する粒子径 $x_{50}$（中位径，50 % 径，メディアン径）である（一般にある分布のパーセント点を与える粒子径，たとえば，分布の 25 % に対応する粒子径を $x_{25}$ のように表記して 25 パーセンタイル径と呼ぶ）。
粒子径 $x$ が対数正規分布に従うとき，$Q(x)$ を $x$ に対して，対数正規確率紙にプロットすると直線になる。個数基準分布や質量基準分布といった基準の違う分布同士の $\mu_{x}$ は当然違う値になるが， $\ln x$ の標準偏差 $σ_{x}$ は対数正規分布の性質上，どの基準分布でも同じ値になる。したがって，グラフ上では，各基準分布は平行線となるので換算が簡単である（ハッチの式）。また，正規分布を $z=0 〜(\mu -\sigma)$ で積分すると $Q(z)=0.159$ となり，この性質から，$\sigma_{x}=\ln x_{50}-\ln x_{15.9}$ となるので，$\sigma_{\mathrm{g}}=x_{50}/x_{15.9}$ の式を使って，グラフ上から $\sigma_{\mathrm{g}}$ を求めることができる。
→ 粒子径分布， ハッチの式， 対数確率線図（付録）
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